درس 4 از 5حدود 9 دقیقه

آزمون فرض، مقدار p و فاصله‌ی اطمینان

چگونه تصمیم بگیریم تفاوت مشاهده‌شده واقعی است یا شانسی

فرض صفر و مقابل، آماره‌ی t دو نمونه‌ای، معنای دقیق مقدار p و ساخت فاصله‌ی اطمینان برای تفاوت میانگین‌ها.

4.1فرض صفر و فرض مقابل

فرض صفر $H_{0}$ می‌گوید مداخله اثری ندارد: $μ_{A} = μ_{B}$ . فرض مقابل $H_{1}$ می‌گوید اثر دارد: $μ_{A} \neq = μ_{B}$ . آزمون فرض می‌پرسد اگر $H_{0}$ درست بود، دیدن تفاوتی به بزرگی آنچه مشاهده کرده‌ایم چقدر غیرمنتظره می‌بود.

تصادفی‌سازی همان چیزی است که این پرسش را معنادار می‌کند. وقتی گروه‌ها با تصادف ساخته شده‌اند، تنها منبع تفاوت زیر فرض صفر خودِ تصادف است و توزیع آماره‌ی آزمون زیر فرض صفر دقیقا قابل محاسبه است.

4.2آزمون t دو نمونه‌ای

برای مقایسه‌ی میانگین یک پیامد پیوسته میان دو گروه مستقل از آزمون t استفاده می‌شود. آماره‌ی آزمون تفاوت میانگین‌ها را با خطای معیار همان تفاوت مقایسه می‌کند.

t = \frac{x ˉ _{A} - x ˉ _{B}}{\frac{s _{A}^{2}}{n _{A}} + \frac{s _{B}^{2}}{n _{B}}}

نسخه‌ی ولچ که واریانس برابر را فرض نمی‌کند و انتخاب پیش‌فرض بهتری است.

مثال کاربردیکاهش نمره‌ی درد در دو گروه ۳۰ نفره

1گروه الف: $x ˉ_{A} = 8.2$ ، $s_{A} = 2.1$ ؛ گروه ب: $x ˉ_{B} = 6.9$ ، $s_{B} = 2.4$
2خطای معیار تفاوت: $2. 1^{2} /30 + 2. 4^{2} /30 = 0.147 + 0.192 \approx 0.582$
3آماره: $t = (8.2 - 6.9) /0.582 \approx 2.23$ با حدود $58$ درجه‌ی آزادی

مقدار p دوطرفه تقریبا ۰.۰۳ است. اگر واقعا اثری نبود، تفاوتی به این بزرگی تنها در حدود ۳ درصد تکرارها دیده می‌شد.

4.3مقدار p چیست و چه نیست

p = P (∣ T ∣ \geq ∣ t_{obs} ∣ H_{0})

احتمال دیدن آماره‌ای دست‌کم به همین شدت، به شرط درست بودن فرض صفر.

مقدار p احتمال درست بودن فرض صفر نیست.
مقدار p اندازه‌ی اثر را نشان نمی‌دهد؛ با نمونه‌ی بسیار بزرگ، اثر ناچیز هم p کوچک می‌گیرد.
آستانه‌ی ۰.۰۵ قرارداد است، نه قانون طبیعت. گزارش فاصله‌ی اطمینان همیشه اطلاعات بیشتری می‌دهد.

4.4فاصله‌ی اطمینان

فاصله‌ی اطمینان ۹۵ درصد بازه‌ای است که اگر مطالعه بارها تکرار شود، ۹۵ درصد بازه‌های ساخته‌شده مقدار واقعی را در بر می‌گیرند. برخلاف مقدار p، هم جهت اثر را نشان می‌دهد و هم بزرگی و دقت آن را.

(x ˉ_{A} - x ˉ_{B}) \pm t_{1 - α /2, ν} \frac{s _{A}^{2}}{n _{A}} + \frac{s _{B}^{2}}{n _{B}}

مثال کاربردیادامه‌ی مثال درد

1تفاوت میانگین $1.3$ و خطای معیار $0.582$
2مقدار بحرانی $t_{0.975, 58} \approx 2.00$
3فاصله: $1.3 \pm 2.00 \times 0.582 = (0.14, 2.46)$

صفر داخل بازه نیست، پس با مقدار p زیر ۰.۰۵ هم‌خوان است. اما بازه پهن است: اثر واقعی می‌تواند از تقریبا ناچیز تا حدود ۲.۵ نمره باشد. برای دقیق‌تر شدن باید نمونه بزرگ‌تر شود، موضوع درس بعد.

خلاصه‌ی درس

آزمون فرض می‌پرسد داده‌ها زیر فرض «بی‌اثری» چقدر غیرمنتظره‌اند.
مقدار p نه احتمال درستی فرض صفر است و نه اندازه‌ی اثر.
فاصله‌ی اطمینان جهت، بزرگی و دقت اثر را با هم نشان می‌دهد و همیشه باید گزارش شود.