درس 2 از 5حدود 8 دقیقه

احتمال، توزیع یکنواخت و بلوک جایگشتی

ریاضیات پشت تخصیص تصادفی و دلیل نیاز به بلوک‌بندی

احتمال ساده، توزیع یکنواخت، مشکل عدم توازن در تصادفی‌سازی ساده و فرمول تخصیص بلوکی که در همین سایت اجرا می‌شود.

2.1احتمال و توزیع یکنواخت

احتمال یک رویداد عددی بین صفر و یک است که فراوانی نسبی آن رویداد را در تکرارهای بسیار زیاد نشان می‌دهد. در تخصیص تصادفی با $K$ گروه و نسبت برابر، احتمال هر گروه برای هر شرکت‌کننده $1/ K$ است.

U \sim U (0, 1), P (a \leq U < b) = b - a (0 \leq a < b \leq 1)

توزیع یکنواخت پیوسته: احتمال افتادن در هر بازه برابر طول همان بازه است.

همه‌ی روش‌های تصادفی‌سازی در نهایت از یک عدد یکنواخت $U$ استفاده می‌کنند. بازه‌ی $[0, 1)$ به قطعاتی به طول احتمال هر گروه تقسیم می‌شود و گروهی انتخاب می‌شود که $U$ در قطعه‌ی آن افتاده باشد. صحنه‌ی سه‌بعدی صفحه‌ی اصلی دقیقا همین کار را نشان می‌دهد.

2.2تصادفی‌سازی ساده و مشکل عدم توازن

در تصادفی‌سازی ساده هر فرد مستقل از دیگران با احتمال $p$ به گروه مداخله می‌رود، مثل پرتاب سکه. تعداد افراد گروه مداخله در میان $n$ نفر توزیع دوجمله‌ای دارد.

X \sim Bin (n, p), P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, Var (X) = n p (1 - p)

مثال کاربردیاحتمال عدم توازن در یک مطالعه‌ی ۲۰ نفره

1 $n = 20$ و $p = 0.5$ ، انتظار داریم $10$ نفر در هر گروه باشند
2احتمال اینکه یک گروه $14$ نفر یا بیشتر داشته باشد: $P (X \geq 14) + P (X \leq 6) \approx 0.115$
3یعنی تقریبا از هر نه مطالعه‌ی کوچک، یکی به نسبت ۱۴ به ۶ یا بدتر می‌رسد

تصادفی‌سازی ساده در نمونه‌های کوچک به‌طور قابل توجهی گروه‌های نابرابر می‌سازد. راه‌حل، بلوک‌بندی است.

2.3بلوک جایگشتی

در تخصیص بلوکی، شرکت‌کنندگان در بلوک‌هایی به اندازه‌ی $b$ (مضربی از $K$ ) وارد می‌شوند و درون هر بلوک هر گروه دقیقا $b / K$ جایگاه دارد. ترتیب جایگاه‌ها درون بلوک تصادفی است. معادل احتمالاتی این کار، کشیدن بدون جایگذاری از جایگاه‌های باقی‌مانده است.

p_{j}^{(n)} = \frac{r _{j}^{(n)}}{\sum _{k = 1}^{K} r _{k}^{(n)}}, G_{n} = min {j : U_{n} < k = 1 \sum j p_{k}^{(n)}}

r_j جایگاه‌های باقی‌مانده‌ی گروه j در بلوک جاری است. همان فرمول صفحه‌ی اصلی.

تعداد ترتیب‌های ممکن یک بلوک با ضریب چندجمله‌ای به دست می‌آید. برای دو گروه و بلوک ۴تایی $(2 4) = 6$ ترتیب و برای سه گروه و بلوک ۳تایی $3! = 6$ ترتیب داریم. هرچه بلوک بزرگ‌تر باشد پیش‌بینی تخصیص بعدی سخت‌تر، ولی عدم توازن لحظه‌ای بیشتر می‌شود.

N_{perm} = \frac{b !}{( \frac{b}{K} ) ! ^{K}}

مثال کاربردییک بلوک سه‌تایی قدم به قدم

1آغاز بلوک: $r = (1, 1, 1)$ ، پس $p = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ و مرزهای تجمعی $0.33, 0.67, 1$
2نفر اول: $U_{1} = 0.71 \Rightarrow$ گروه ج؛ اکنون $r = (1, 1, 0)$
3نفر دوم: $p = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ و $U_{2} = 0.18 \Rightarrow$ گروه الف؛ اکنون $r = (0, 1, 0)$
4نفر سوم: $p = (0, 1, 0)$ ، بدون توجه به $U_{3}$ گروه ب؛ بلوک بسته و بازنشانی می‌شود

پس از هر سه نفر، هر گروه دقیقا یک نفر گرفته است. حداکثر عدم توازن در هر لحظه فقط یک نفر است.

خلاصه‌ی درس

همه‌ی روش‌های تصادفی‌سازی به یک عدد یکنواخت بین صفر و یک برمی‌گردند.
تصادفی‌سازی ساده در نمونه‌های کوچک به‌راحتی گروه‌های نابرابر می‌سازد.
بلوک جایگشتی توازن را در هر لحظه تضمین می‌کند، به قیمت قابل حدس بودن نفر آخر بلوک.