درس 5 از 5حدود 8 دقیقه

حجم نمونه و توان آزمون

پیش از شروع مطالعه چند نفر لازم داریم و چرا

خطای نوع اول و دوم، توان آزمون، اندازه‌ی اثر و فرمول حجم نمونه برای مقایسه‌ی دو میانگین و دو نسبت، همراه با تعدیل ریزش.

5.1دو نوع خطا و توان

خطای نوع اول $α$ : رد کردن فرض صفر درست، یعنی اعلام اثری که وجود ندارد. معمولا $0.05$ .
خطای نوع دوم $β$ : رد نکردن فرض صفر نادرست، یعنی از دست دادن اثری که وجود دارد. معمولا $0.2$ یا $0.1$ .
توان $1 - β$ : احتمال کشف اثر واقعی با اندازه‌ی مشخص. توان $0.8$ یعنی از هر پنج مطالعه‌ی مشابه، چهار تا اثر را می‌بینند.

مطالعه‌ی کم‌توان دو ضرر دارد: اگر اثر را نبیند، منابع و زمان شرکت‌کنندگان هدر رفته است؛ و اگر ببیند، برآوردش احتمالا بزرگ‌نمایی شده است. به همین دلیل محاسبه‌ی حجم نمونه پیش از تایید مطالعه، در گردش کار همین سایت، گام اول است.

5.2اندازه‌ی اثر

حجم نمونه به کوچک‌ترین تفاوتی بستگی دارد که از نظر علمی یا کاربردی مهم است، نه تفاوتی که امیدواریم ببینیم. این تفاوت $δ$ نسبت به انحراف معیار $σ$ سنجیده می‌شود و اندازه‌ی اثر استاندارد را می‌سازد.

d = \frac{δ}{σ}

قرارداد کوهن: ۰.۲ کوچک، ۰.۵ متوسط، ۰.۸ بزرگ. هرچه اثر کوچک‌تر، نمونه‌ی لازم به‌طور مربعی بزرگ‌تر.

5.3حجم نمونه برای مقایسه‌ی دو میانگین

n_{per group} = \frac{2 ( z _{1 - α /2} + z _{1 - β} ) ^{2} σ ^{2}}{δ ^{2}}

z مقدارهای بحرانی توزیع نرمال استاندارد هستند: برای α=۰.۰۵ دوطرفه ۱.۹۶ و برای توان ۸۰ درصد ۰.۸۴.

مثال کاربردیکاهش پنج واحدی فشار خون

1کوچک‌ترین تفاوت مهم $δ = 5$ ، انحراف معیار $σ = 10$ ، پس $d = 0.5$
2 $α = 0.05$ دوطرفه: $z = 1.96$ ؛ توان $0.8$ : $z = 0.84$
3 $n = \frac{2 \times ( 1.96 + 0.84 ) ^{2} \times 100}{25} = \frac{2 \times 7.84 \times 100}{25} \approx 62.7$

۶۳ نفر در هر گروه، ۱۲۶ نفر در کل. اگر توان ۹۰ درصد بخواهیم (z=۱.۲۸)، عدد به حدود ۸۴ نفر در هر گروه می‌رسد.

5.4حجم نمونه برای مقایسه‌ی دو نسبت

وقتی پیامد دوحالتی است، مثلا بهبود یافت یا نیافت، به جای میانگین با نسبت‌ها کار می‌کنیم. اگر انتظار داریم نسبت در گروه کنترل $p_{1}$ و در گروه مداخله $p_{2}$ باشد:

n_{per group} = \frac{( z _{1 - α /2} + z _{1 - β} ) ^{2} [ p _{1} ( 1 - p _{1} ) + p _{2} ( 1 - p _{2} ) ]}{( p _{1} - p _{2} ) ^{2}}

مثال کاربردیافزایش بهبودی از ۵۰ به ۶۵ درصد

1 $p_{1} = 0.50$ ، $p_{2} = 0.65$ ، تفاوت $0.15$
2صورت: $(1.96 + 0.84)^{2} \times [0.25 + 0.2275] = 7.84 \times 0.4775 \approx 3.74$
3 $n = 3.74/0.0225 \approx 166$

حدود ۱۶۶ نفر در هر گروه لازم است. مقایسه‌ی نسبت‌ها معمولا نمونه‌ی بزرگ‌تری از مقایسه‌ی میانگین‌ها می‌خواهد.

5.5تعدیل ریزش

بخشی از شرکت‌کنندگان مطالعه را تمام نمی‌کنند. اگر نرخ ریزش مورد انتظار $d$ باشد، حجم نمونه‌ی محاسبه‌شده باید بر $1 - d$ تقسیم شود تا در پایان همان تعداد لازم باقی بماند.

n_{adj} = \frac{n}{1 - d}

با ریزش ۱۵ درصد، ۶۳ نفر به ۷۵ نفر در هر گروه تبدیل می‌شود.

خلاصه‌ی درس

توان آزمون احتمال کشف اثری است که واقعا وجود دارد؛ مطالعه‌ی کم‌توان هم پرهزینه است و هم گمراه‌کننده.
حجم نمونه با مربع اندازه‌ی اثر نسبت عکس دارد؛ نصف شدن اثر، چهار برابر شدن نمونه.
ریزش را از ابتدا در محاسبه بگنجانید و همین عدد را به عنوان n در مطالعه قفل کنید.